在之前的几篇有关数学的文章中，我们提到过第一次数学危机，而第一次数学危机的导火索主要是下面两个：

1.无理数的发现，使得人类第一次意识到数学世界并不能与宏观的现实世界完美对应。

2.芝诺悖论的提出，使得人类意识到传统意义上的逻辑推理未必是可靠的，更促使人类深入研究时间、空间和运动间的关系问题。

之前作者君写过一篇有关无理数的文章，在此不再赘述。今天让我们先来简单了解一下芝诺悖论，搞明白芝诺悖论错在何处，这样一来我们就可以顺利地进入今天的主题——极限。

前方高能预警：本文公式较多，建议在PC或平板等大屏设备上阅读，以获得更好的阅读体验。

芝诺悖论的提出和解决

我们如今能够找到的文献中对于芝诺本人的生平几乎没有任何记载，据说芝诺所提出的悖论多达四十余条，然而由于芝诺本人的著作已散佚，他的理论流传下来的却不多。如今关于芝诺悖论的记载仅见于后来亚里士多德的著作《物理学》和其它零星记载当中，其中最著名的莫过于以下两条论断：

芝诺家的神龟

1.奔跑健将追不上乌龟

具体内容是：阿基里斯（古希腊神话中的一名奔跑健将，一译作阿基琉斯）在追上乌龟前，必须先到达乌龟的出发点，这时乌龟已向前爬行了一段路程，于是阿基里斯必须赶上这段路程，可是乌龟此时又向前爬行了一段距离，如此下去，虽然阿基里斯越来越接近乌龟，但永远也追不上乌龟。

看上去处于静止状态的箭矢

2.飞矢不动

设想一支飞行的箭矢，在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。我们知道，箭矢在每个时刻的位置是唯一确定的，因而箭在每个时刻都只能是静止的。鉴于整个运动期间只包含时刻，而每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭矢总是静止的，它不可能在运动。

芝诺所提出的这些结论显然是错误的，但从逻辑上讲这种推论没有矛盾。

问题的解决

对于芝诺悖论的科学驳斥其实早在公元前4世纪左右就已经解决，这里姑且采用亚里士多德的说法来解读一下。

芝诺提出的人龟赛跑问题的结论是：跑得慢的人不可能被赶上。因此，对这个论证的解决方法也必然是同一个方法，认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的，因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话，那么它也是可以被赶上的。

而“飞矢不动”问题中，箭在每个时刻都不动这一事实不能说明它是静止的。运动与时刻里发生什么无关，而是与时刻间发生什么有关。如果一个物体在相邻时刻在相同的位置，那么我们说它是静止的，反之它就是运动的。

芝诺悖论

正因为人们对于芝诺提出的这些场景十分熟悉，大家都清楚芝诺的这些结论显然错误，所以当时的人们才能够努力解决这些bug，而在修复bug的过程中，人们推陈出新，渐渐地摸到了微积分的大门。

在芝诺提出他的理论之后的近2000年的漫长时间里，人们一直将他和他的理论作为反面教材来批判，尽管亚里士多德称赞芝诺是辩证法的发明者，但是在其著作中依旧不见其对于芝诺悖论本身的正面评价。这样的情况一直持续到19世纪，人们才逐渐意识到，芝诺的理论很可能在当时被诡辩家所利用，因而未能得到正确的解读。芝诺提出这些悖论的初衷今天的我们确实已经不得而知了，但他对于极限、时间、空间、运动等基础概念的探索和哲学思辨却实实在在地促进了微积分、量子力学等学科的诞生与发展。

用数学极限形式写出的瞬时速度公式

备注：中学时候，有的数学老师会对芝诺悖论当中的“人龟赛跑”问题进行了一些变形，转化为数列求和问题，最后证明这个连加过程如果一直进行下去的话，阿基里斯是可以追上并超过乌龟的。有的中学数学教材中以此来引入极限的概念。而“飞矢不动”问题，最简单准确的解释应当从物理学上的运动、动能、动量等概念入手，也可以导出用极限形式来表达的瞬时速度公式。

早期的极限思想

现在一般认为芝诺悖论是数学极限思想的源头，但不可忽视的是，在古老的东方世界，极限思想早已萌芽。

愚公移山雕塑

熟读《愚公移山》这则寓言故事的读者朋友或许还记得，故事中的愚公曾说过：“子子孙孙，无穷匮矣。”大抵是说，我知道我这一代人挖不走眼前这座阻碍我们通往幸福生活的大山，但是我的子孙后代们如果坚持下去的话，终有一代人将完成这个使命，从而使后人能过上美好的生活。

庄子与惠子侃大山的时候，曾说过：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”这其实也是一种朴素的极限思想。

割圆术和穷竭法的核心原理是一致的

当然，真正运用到数学研究中的极限思想当属古代中国数学家祖传的“割圆术”以及古希腊阿基米德所使用的“穷竭法”。

“割圆术”与“穷竭法”都是采用的近似替代+动态趋近的数学方法，本质上讲，这就是一种朴素的极限思想。

两位科学界帅哥的微积分发明权之争

事实上，哪怕是创建微积分的牛顿爵士和莱布尼茨男爵（莱布尼茨自称拥有爵位）本尊，也曾长期使用“动态趋近”来描述极限，因此当时的微积分的基础并不牢靠，并因此引发了第二次数学危机。直到后来，柯西、魏尔斯特拉斯等人才建立起严格化的描述方法，再经过黎曼、勒贝格等人的努力，微积分的大厦才算牢固地建立起来。

极限，微积分的基础

作为微积分的根基，函数极限的重要性不言而喻。我们先来谈一谈数列极限，然后再进一步聊一聊函数极限及其性质。

1.数列极限

对于一个无穷数列,是一个常数，则

用数学文字语言来描述，就是：

无穷数列在它的项数趋于无穷时的极限是，意味着，对于任意（小的）一个正数，总可以找到一个（确定的、与间有着一定数量关系的）正整数，使得当时，数列任意项与之间的差值的绝对值（即数轴上两点间的距离）总小于（给定的）。

备注：括号内是作者君为了方便大家理解，而添加的注释文字。

说人话就是，无穷数列从某一项开始，后面的项就围着常数打转了，而且越往后，和常数的距离就越小。

怎么样？数列极限是不是很好理解？

2.函数与函数极限

我们知道，一个无穷数列可以看成从项数到数列各项的一一映射，也就是说，每给一个确定的，都有唯一的与之对应。

所以，数列通项和它的项数之间的关系也可以看成的函数，显然，这样的一个函数的定义域是正整数集，所以这个函数是离散函数，如果画个图像，大致是这样的。

收敛数列示意图，图中假设数列极限为0

2.1 函数极限

既然有了数列极限的定义，我们再来考虑一下，函数极限应该如何定义。

创新源于模仿，自研起于代工。

上面的这个数列极限，我们下定义的时候，只考虑了从1到的递增情况，而且对应的函数图像是一个个散点。

我们现在给定一个函数。

现在我们如果要定义时候的函数极限，很简单，拿来主义，就是这样：

我就不翻译了，大家参照着前文来看。

这里的条件下的只需要考虑不断增大，一直向轴正方向狂奔的情况即可。

类似的，我们也可以写出条件下的，请大家自行补全。

是不是很简单？将改成，改成，这样就好了。

注意，这里我们已经开始考虑函数自变量不断减小，即向着轴负方向一路狂奔时，的走向问题。

但是，实际情况是，我们往往需要考虑在某一确定点的情况。有人说，这不简单嘛？，这不就行了？

NO！对于在连续函数（简单点理解，就是函数图象是连续的）而言，确实是成立的。

然而，如果函数图象是这样的：

含有跳跃间断点的函数及其图象

又或者是这样的：

含有可去间断点的函数及其图象

还有可能是这样的：

含有无穷间断点的函数及其图象

更有甚者，其部分函数图象是这样的：

含有振荡间断点的函数及其图象

显然不适用了。

2.2 函数的单侧极限

所以，要考虑函数在某一特定点处的极限，就必须考虑该点处左、右两个方向上函数图象走向了。

这时候，我们需要引入邻域这个概念了。

一句话概括：邻域是一个以点为中心，为半径的开区间，记为。

邻域概念图解

如果从这个开区间中去除点，那就得到了去心邻域，记为。

好了，现在我们可以仿照之前的数列极限定义以及时的函数极限，来给在处的极限下个定义，设在上有定义，则

这里我们用的是去心邻域，因为在处有没有定义，与的存在与否，二者之间没有半毛钱关系。

除了之外，我们还有必要考虑一下单侧极限的问题，之前提到的时的函数极限其实也可以看成是单侧极限了，因为我们实质上也只考虑了单个方向上函数的变化趋势。

我们研究函数随自变量的变化趋势时，这里的自变量可以从的左侧奔向它，也可以从的右侧奔向它，与此相对应的，便有了函数左极限和右极限。

设在(即开区间)上有定义，则

这是函数在处的左极限的定义。至于右极限，请读者们自行补全。

这里有一个判定极限存在性的方法：

求函数极限的一般方法

前面我们看了一大堆让人脑壳生疼的定义，不得不说，数学语言真的很严密，严格地按照定义来求函数极限，的确是一个绝对靠谱的方法，准确地来说，这种方法也是唯一真正可靠的方法，在数学上，很多时候我们的直观逻辑导致的是错误结论。

这里我就不举例子了，知乎上面有相关的文章，大学数学教材中亦有大量的例题。但依据定义来求极限，实在不是一个非常高效的方法，特别是对于一些比较复杂的函数，要想根据给定的，找到一个与间有着确切数量关系的，简直难如登天，更遑论求极限值了。

严格来说，我们在求极限的时候，唯一正确的方式就是套用定义，按照模式来验证。当然，现在的我们完全没必要对每一个遇到的函数极限问题都去套定义求解，因为一些常见的基础函数的极限早就有无数前辈计算好了，我们现在只需要深入贯彻“拿来主义”，再结合极限的一些运算法则，就能够很方便地得到函数极限了。

例如：，当时，这是显而易见且被很多人严格证明过的，我们直接拿来用就好了。

类似的还有：，。

备注：包含了和这两种情况，必须两种情况下的函数极限都存在且相等，才能确认的存在。

当然，一般的，我们还是需要通过运算法则来进行一些运算的。

常用的运算法则也就以下几条：

若和都存在，则函数，当时极限也存在，且

如果，则当时，极限也存在，且

• 。

备注：由于公式编辑器的问题，公式右侧只能显示成这样，请各位读者谅解。

除了这几条运算法则，一般经常用到大名鼎鼎的洛必达法则：

简单点描述，就是针对，两种特殊类型的极限，有。

毫无疑问，这里的必须在处可导才行，如果一阶导数不行，那就来二阶导数，反正就这样继续下去。

备注：洛必达法则并不是洛必达侯爵发明的，而是他的老师约翰·伯努利发明的，作为富n代的洛必达侯爵花钱从正缺钱花的约翰·伯努利处购买了专利权并将之公开，并且在洛必达侯爵本人的著作中也提到了这个法则是他的恩师——约翰·伯努利发明的。然而人们依旧将错就错，将这个法则称为“洛必达法则”。

此外，我们在求极限的时候，还会用到等价无穷小代换，或者运用三角变换等变换方式进行代换，从而简化运算。在此不作详细介绍，我会在下一篇数学类科普文章中详细地说一说无穷小量，感兴趣的读者可以期待一下。

了解数学极限知识后，我们可以获得什么？

了解数学极限之后，我们到底能够获得什么？

首先，极限的概念和运算是贯穿整个微积分理论的，是整个微积分的基石，了解并掌握极限，我们才能够更进一步地学习并掌握微积分。

然后，数学的几个分支领域中也经常用到极限，比如：统计学中就用抽样调查结果的极限来定义统计学中的各种概念。下面这篇文章就简单介绍了统计学的几大基本定律，大家可以看到，它们都是用极限的形式来展现的。

统计学基本极限定理_oulittle的博客-CSDN博客

除此之外，现在的小学数学教材中甚至已经出现运用随机投掷小物件，根据其分布频率来大致计算不规则图形面积的习题，这其实就是在向学生渗透数学思想。

通过统计实验来求不规则图形的面积

除了数学本身，数学方法其实早已渗透到所有的自然科学和社会科学中，我们所熟悉的人口增长模型，或者是生物群落增长模型，甚至是部分经济学方面的增长模型，其拟合的函数图象大致是S型的光滑曲线，但是事实上，即使忽略函数的实际意义，将其视作连续函数，其真实情况应当是震荡的，就像中学地理或者生物老师告诉我们的那样，处于一个动态平衡状态，或者说是稳态。

某种群数量随时间变化的函数模型

其实这里的稳态，就是指，当所研究的系统外部和内部条件不发生重大改变时，拟合函数会达到一个极限值。

事实上，如果不是科技的进步，地球——我们的母亲早已承载不了如此庞大的人口了。

开个玩笑，只要你愿意将你所要研究的事物建立一个函数模型，你就会发现，极限无处不在。

所以说，抛开数学和科学研究本身来论，如果我们真的理解了极限的含义，那么我们至少会懂得在何时何地，做何事是最合适的，又或者是在该放弃的时候果断选择放弃，在需要打破现有局限的时候果断地打破常规。

一点题外话

现代数学知识越发抽象，随着学习与研究的深入，如今哪怕是一个极小的数学分支，都让人看不到尽头。所以，除非专心深入研究一两个数学问题，否则，现在的数学家们很难有所突破了。

然而，作为普通人的我们到底能够从这些越发抽象、越发远离实际生产生活的数学知识中获得些什么呢？这个问题其实我一直都在思考，也许每个人都有自己的答案。我在这里也举一个例子。

外星人可能不怀好意

虽然现在的人类文明已经高度繁荣，但是毁灭人类文明也许只需要一种超级病毒，或者几枚钴弹，又或者被外星高级文明征服并奴役。

也许是我杞人忧天了，但是假设人类文明真的遭遇变故，最后的人类想要留下的必定是那些科学研究资料，因为这些科研资料才是承载人类数千年文明的基石。

即便大多数人无法理解这些宝贵的资料的具体内容，但是并不妨碍幸存下来的人类从中获取正确的思维方式、研究方法、合适的价值观，届时，只要人类能够活下去，人类的文明必将再次辉煌。