极值和最值的区别（最值和极值的关系有什么用？）

最值和极值有时候并没有什么关系，因为最值不一定是极值，极值也并不一定是最值。他们并不互为充要条件。但它们有时候又是关系非常紧密的。比如连续函数唯一的极值就是最值；不在端点取得的最值就是极值等。那么这些关系到底有什么用呢？下面这道高数证明题，就要运用到最值和极值的其中一个关系。

设f(x)满足f”(x)+f’(x)g(x)-f(x)=0，其中g(x)为任一函数. 证明：

若f(x0)=f(x1)=0(x0<x1)，则f在[x0,x1]上恒等于0.

顺便介绍一种错误的证明方法。

记f(x)=f(x0)+f'(ξ1)(x-x0)，x0<ξ1<x<x1. 这是最低阶的泰勒公式。

求导得f'(x)=f'(ξ1), 即导函数是一个常数，这一步是错误的，你知道为什么吗？

又f(x0)=f(x1)=0，在[x0,x1]上运用罗尔中值定理知，存在ξ∈(x0,x1), 使得f(ξ)=0.

所以f'(x)=0, x∈(x0,x1), 即f(x)=C. C是常数。

因为f(x)在[x0,x1]上连续，所以f(x)=f(0)=0.

错误就出现在对泰勒公式求导这一步。老黄前面的作品中，也有对泰勒公式求导的做法，而且好像也证明出了结论。但老黄在这里发现了对泰勒公式求导，是错误的。这是因为泰勒的定量公式中的ξ对函数的定义域来说，并不是一个常数，而是一个变量，一个与自变量有关的变量，ξ=x0+θ(x-x0), 0<θ<1. 所以要把f(ξ)看作x的复合函数。因此上面对泰勒公式求导的结果是错误的。

这是老黄在打自己的脸，也就是说老黄前面的作品中出现了这个错误，幸好老黄同时还提供了另一种证明方法。数学探究，永远不出错才奇怪哦。所以探究数学千万不要害怕出错，像老黄这样把脸皮修炼得厚厚的就可以了。

不要以为老黄前面讲的都是废话，那其实是一个很少人发现的重要知识哦。下面就给大家分享正确的解法。

证：记存在x∈(x0,x1), 使f(x)≠0, 不妨设f(x)>0.

则必存在一点ξ∈(x0,x1), 使得f(ξ)最大, 且f(ξ)>0是极大值, 【这就是运用了“最大值不在端点取得，则必为极大值”的关系。】

f’(ξ)=0, 【可导的极值点导数值等于0】

由题设有f”(ξ)+f’(ξ)g(x)-f(ξ)=f”(ξ)-f(ξ)=0,

即f”(ξ)=f(ξ)>0, 即f(ξ)是极小值, 矛盾！【只有平行于x轴的线段或直线，才可能出现极大值同时也是极小值的情况，此时f(x)=f(x0)=f(x1)=0】

同理可证, 当f(x)<0时, 最小值f(ξ)是极大值, 矛盾！【最小值如果是极值，则只能是极小值，除非函数是平行于x轴的直线或线段】

∴f在[x0,x1]上恒等于0.

瞧！运用最值和极值的关系证明这道题，多简单啊！